Question

【題目】 如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D是直線AB上的一動點（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直線AC于F.

（1）點D在邊AB上時，試探究線段BD、AB和AF的數量關系，并證明你的結論；

（2）點D在AB的延長線或反向延長線上時，（1）中的結論是否成立？若不成立，請直接寫出正確結論.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析

【解析】 試題分析：（1）通過三角形全等的判定ASA證明△FAB≌△DAC，然后根據全等三角形的性質可證得結論；

（2）根據題意，分為：點D在AB的延長線上；點D在AB的反向延長線上，兩種情況進行討論即可.

試題解析：(1)如圖1，

∵BE⊥CD即∠BEC=90°，∠BAC=90°，

∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．

∴∠FBA=∠FCE．

∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，

∴∠FAB=∠DAC．

在△FAB和△DAC中，

AB=AC

∴△FAB≌△DAC（ASA）．

∴FA=DA．

∴AB=AD+BD=FA+BD．

（2）（1）中的結論不成立．

點D在AB的延長線上時，AB=AF-BD；點D在AB的反向延長線上時，AB=BD-AF．

理由如下：

①當點D在AB的延長線上時，如圖2．

同理可得：FA=DA．

則AB=AD-BD=AF-BD．

②點D在AB的反向延長線上時，如圖3．

同理可得：FA=DA．

則AB=BD-AD=BD-AF．