Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，點P、Q分別從B、C兩點同時出發，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s；點Q沿CA、AB向終點B運動，速度為2cm/s，設它們運動的時間為x(s)．

(1)求x為何值時，PQ⊥AC；

(2)設△PQD的面積為，當0＜x＜2時，求y與x的函數關系式；

(3)當0＜x＜2時，求證：AD平分△PQD的面積；

(4)探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關系，請寫出相應位置關系的x的取值范圍(不要求寫出過程)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝；（3）詳見解析；（4）當 或或 ＜x≤4時，以PQ為直徑的圓與AC相交．

【解析】試題分析：（1）若使PQ⊥AC，則根據路程=速度×時間表示出CP和CQ的長，再根據30度的直角三角形的性質列方程求解；（2）當0＜x＜2時，P在BD上，Q在AC上，過點Q作QN⊥BC于N，用x表示出PD、QN的長，根據三角形的面積公式即可求得y與x的函數關系式；（3）根據三角形的面積公式，要證明AD平分△PQD的面積，只需證明O是PQ的中點．根據題意可以證明BP=CN，則PD=DN，再根據平行線等分線段定理即可證明；（4）根據題意可知不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離，由（1）可知當x＝時，以PQ為直徑的圓與AC相切；當點Q在AB上時，8－2x＝，解得x＝，當x＝或時，以PQ為直徑的圓與AC相切；根據直線與圓相交的條件可知當 或或 ＜x≤4時，以PQ為直徑的圓與AC相交．

試題解析：

(1)當Q在AB上時，顯然PQ不垂直于AC，

當Q在AC上時，由題意得，BP＝x，CQ＝2x，PC＝4－x；

∵AB＝BC＝CA＝4，∴∠C＝60°；

若PQ⊥AC，則有∠QPC＝30°，

∴PC＝2CQ，∴4－x＝2×2x，

∴x＝；

(2)如圖，當0＜x＜2時，P在BD上，Q在AC上，過點Q作QN⊥BC于N；

∵∠C＝60°，QC＝2x，

∴QN＝QC＝x；

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD＝BC＝2，

∴DP＝2－x，

∴y＝PD﹒QN＝x＝；

(3)當0＜x＜2時，在Rt△QNC中，QC＝2x，∠C＝60°，NC＝x，

∴BP＝NC，

∵BD＝CD，

∴DP＝DN；

∵AD⊥BC，QN⊥BC，

∴AD∥QN，

∴OP＝OQ，

∴ ，

∴AD平分△PQD的面積；

(4)顯然，不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離，

由(1)可知，當x＝時，以PQ為直徑的圓與AC相切；當點Q在AB上時，8－2x＝，解得x＝，

故當x＝或時，以PQ為直徑的圓與AC相切，

當 或或 ＜x≤4時，以PQ為直徑的圓與AC相交．