Question

【題目】如圖,在△ABC中,D是邊AB的中點,E是邊AC上一動點,連結DE,過點D作DF⊥DE交邊BC于點F(點F與點B、C不重合),延長FD到點G,使DG=DF,連結EF、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.

(1)求證:△ADG≌△BDF；

(2)請你連結EG,并求證:EF=EG；

(3)設AE=,CF=,求關于的函數關系式,并寫出自變量的取值范圍；

(4)求線段EF長度的最小值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) 見解析(3) 見解析（4）5

【解析】

（1）由D是AB中點知AD=BD，結合DG=DF，∠ADG=∠BDF即可得證；
（2）連接EG．根據垂直平分線的判定定理即可證明．
（3）由△ADG≌△BDF，推出∠GAB=∠B，推出∠EAG=90°，可得EF2=（8-x）2+y2，EG2=x2+（6-y）2，根據EF=EG，可得（8-x）2+y2=x2+（6-y）2，由此即可解決問題．
（4）由EF===知x=4時，取得最小值．

解：（1）∵D是邊AB的中點，
∴AD=BD，
在△ADG和△BDF中，
∵，
∴△ADG≌△BDF（SAS）；
（2）如圖，連接EG．

∵DG=FD，DF⊥DE，
∴DE垂直平分FG．

∴EF=EG．
（3）∵D是AB中點，
∴AD=DB，
∵△ADG≌△BDF，
∴∠GAB=∠B
∵AB=10,BC=6,AC=8.

∴= +

∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，∠CAB+∠GAB=90°，
∴∠EAG=90°，
∵AE=x，AC=8，
∴EC=8-x，
∵∠ACB=90°，
∴EF2=（8-x）2+y2，
∵△ADG≌△BDF，
∴AG=BF，
∵CF=y，BC=6，
∴AG=BF=6-y，
∵∠EAG=90°，
∴EG2=x2+（6-y）2，
∵EF=EG，
∴（8-x）2+y2=x2+（6-y）2，
∴y=，（＜x＜）．
（4）∵EC=8-x，CF=y=x-，
∴EF=

=

=

=

∵（x-4）2≥0，
∴≥25，
∴當x=4時，EF取得最小值，最小值為5．
故線段EF的最小值為5．