Question

【題目】如圖，在中，，平分交于點，是上一點，經過，兩點的交于點，連接，作的平分線交于點，連接．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AC=6.4

【解析】

（1）連接OE，根據同圓的半徑相等和角平分線可得：OE∥AC，則∠BEO=∠C=90°，解決問題；

（2）過A作AH⊥EF于H，根據三角函數先計算，證明△AEH是等腰直角三角形，則AE=AH=8，證明△AED∽△ACE，得到即可解決問題．

證明：（1）連接OE，

∵OE=OA，

∴∠OEA=∠OAE，

∵AE平分∠BAC，

∴∠OAE=∠CAE，

∴∠CAE=∠OEA，

∴OE∥AC，

∴∠BEO=∠C=90°，

∴BC是⊙O的切線；

（2）過A作AH⊥EF于H，

中，，

∵，

∴，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠AED=90°，

∵EF平分∠AED，

∴∠AEF=45°，

∴△AEH是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴AC=6.4．