Question

【題目】(1)一個兩位數A,十位數字為a,個位數字為b,交換a和b的位置,得到一個新的兩位數B,則A+B一定能被______整除,A-B一定能被______整除；

(2)一個三位數M,百位數字為a,十位數字為b,個位數字為c（a，b，c均為1至9的整數）,交換a和c的位置,得到一個新的三位數N.請用含a、b、c的式子分別表示數N與M-N；

(3) 若(2)中a比b大1,M比N大792，求M.

Answer 1

【答案】（1）11，9；（2）N=100c+10b+a，M-N=99a-99c,（3）M=981.

【解析】試題分析：

(1) 分析兩位數的特征并結合題意可知，A可以表示為10a+b，B可以表示為10b+a. 將這兩個表達式分別代入A+B和A-B中，可以得到A+B和A-B的表達式. 觀察得到的表達式可知，A+B的表達式中含有因數11，A-B的表達式中含有因數9，結合整除的概念不難得出本小題的答案.

(2) 結合第(1)小題對兩位數特征的分析和相關結論，仿照兩位數表達式的形式可以寫出三位數M與N的表達式，利用這些表達式即可獲得M-N的表達式.

(3) 利用第(2)小題得到的M-N的表達式并結合本小題的條件，可以得到a-c的值. 由a與c均為1至9的整數，不難推斷出a與c的值. 利用已知條件易得b的值. 利用第(2)小題得到的M的表達式即可得到數M的值.

試題解析：

(1) 由題意可知，兩位數A可以表示為10a+b，兩位數B可以表示為10b+a.

A+B=(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b).

因為a與b均為整數，所以a+b為整數.

因為，所以A+B一定能被11整除.

A-B=(10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b).

因為a與b均為整數，所以a-b為整數.

因為，所以A-B一定能被9整除.

故本小題應填寫：11，9.

(2) 因為數M的百位數字為a，十位數字為b，個位數字為c，所以數M可以表示為100a+10b+c，即M=100a+10b+c.

因為數N是由數M交換百位和個位上的數字得到的，所以數N可以表示為100c+10b+a.

因此，M-N=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c.

綜上所述，N=100c+10b+a；M-N=99a-99c.

(3) 因為M比N大792，M-N=99a-99c，所以M-N=99a-99c=99(a-c)=792.

因此，a-c=8.

因為a，c均為1至9的整數，a-c=8，所以a=9，c=1.

因為a比b大1，所以b=a-1=9-1=8.

因為a=9，b=8，c=1，所以M=100a+10b+c==981，即M=981.