Question

【題目】已知：如圖，AB=BC，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交OC與點D，AD的延長線交BC于點E，過D作⊙O的切線交BC于點F．下列結論：①CD2=CE·CB；②4EF 2=ED ·EA；③∠OCB=∠EAB；④．其中正確的只有____________________．（填序號）

Answer 1

【答案】①、②、④

【解析】試題分析：先連接BD，利用相似三角形的判定以及切線的性質定理得出DF=FB，進而分別得出△CDE∽△CBD以及△CDF∽△CBO，再根據相似三角形的性質分別分析即可得出答案.

①連接BD，∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∴∠DBE+∠3=90°，∵∠ABC=90°，

∴∠1+∠DBE=90°，∴∠1=∠3，又∵DO=BO，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，

∴∠CDB=∠CED，∵∠DCB=∠ECD，∴△CDE∽△CBD，∴，故①正確；

②∵過D作⊙O的切線交BC于點F，∴FD是⊙O的切線，∵∠ABC=90°，

∴CB是⊙O的切線，∴FB=DF，∴∠FDB=∠FBD，∴∠1=∠FDE，∴∠FDE=∠3，

∴DF=EF，∴EF=FB，∴EB=2EF，∵在Rt△ABE中，BD⊥AE，∴，

∴，故②正確；

③∵AO=DO，∴∠OAD=∠ADO，假設③∠OCB=∠EAB成立，則∠OCB=0.5∠COB，

∴∠OCB=30°，而 ，與tan30°= 矛盾，

故③∠OCB=∠EAB不成立，故此選項錯誤；

④∵∠CDF=∠CBO=90°，∠DCF=∠OCB，∴△CDF∽△CBO，∴ ，∴ ，

∵AB=BC，∴DF=0.5CD；故④正確．