Question

如圖：四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，AD=a（a＞0），BC=8，AD、BC間的距離為2

3

，有一邊長為2的等邊△EFG，在四邊形ABCD內作任意運動，在運動過程中始終保持EF∥BC．記△EFG在四邊形ABCD內部運動過程中“能夠掃到的部分”的面積為S．
（1）如圖①所示，當a=8時，△EFG在四邊形ABCD內部運動過程中“能夠掃到的部分”即為六邊形HIBCJK，則S=

 

；
（2）如圖②所示，當a=10時，求S的值；
（3）如圖③所示，當a=2時，求S的值．

Answer 1

分析：（1）過G作GH⊥EF于H，求出等邊三角形GEF的高GH，關鍵面積公式求出即可；
（2）過點B、E分別作EJ⊥AD于J、BK⊥AD于K，作AD的中點H，BC的中點I，求出平行四邊形ABCD的面積和三角形AGE的面積，代入求出即可；
（3）過點A、G分別作AK⊥BC于K、GJ⊥BC于J，作AD的中點H，BC的中點I，求出平行四邊形ABCD和三角形BGE的面積，代入即可求出答案．

解答：（1）解：
過G作GH⊥EF于H，
∵等邊三角形GEF，
∴EH=HF=1，
由勾股定理得：GH=

GE2-EH2

=

3

，
S=S_矩形ABCD-2S_△AIH=8×2

3

-2×

1

2

×1×

3

=15

3

，
故答案為：15

3

．

（2）解：將△EFG移到四邊形ABCD的左上角（圖1），
則△AEG為△EFG無法掃到的一部分，
此時，由于AD、BC的距離為2

3

，△EFG的高為

3

，
易得點E恰好是AB的中點，
過點B、E分別作EJ⊥AD于J、BK⊥AD于K，作AD的中點H，BC的中點I，
∵S四邊形ABCD=

1

2

×(10+8)×2

3

=18

3

，
∵AD=10，BC=8∴AH=5，BI=4，
∴AK=AH-BI=1，
∵E是線段AB的中點，EJ⊥AD，BK⊥AD，
∴AJ=

1

2

AK=

1

2

，
∵∠JEG=30°，
∴JG=

1

2

GE=1，
∴AG=AJ+JG=

3

2

，
∴S△AGE=

1

2

×AG×JE=

1

2

×

3

2

×

3

=

3 3

4

，
∴△EFG無法掃到的部分的總面積為2S△AGE=

3 3

2

，
∴S=S四邊形ABCD-2S△AGE=

33 3

2

，
答：S的值是

33 3

2

．

（3）解：將△EFG移到四邊形ABCD的左下角（圖2），
則△BEG為△EFG無法掃到的一部分，
此時，由于AD、BC的距離為2

3

，△EFG的高為

3

，
易得點G恰好是AB的中點，
過點A、G分別作AK⊥BC于K、GJ⊥BC于J，作AD的中點H，BC的中點I
∵S四邊形ABCD=

1

2

×(2+8)×2

3

=10

3

，
∵AD=2，BC=8，
∴AH=1，BI=4，
∴BK=BI-AH=3，
∵G是線段AB的中點，AK⊥BC，GJ⊥BC，
∴BJ=

1

2

BK=

3

2

，
∵∠JGE=30°，
∴JE=

1

2

GE=1，
∴BE=BJ-EJ=

1

2

，
∴S△BGE=

1

2

×BE×JG=

1

2

×

1

2

×

3

=

3

4

，
∴△EFG無法掃到的部分的總面積為2S△BGE=

3

2

，
∴S=S四邊形ABCD-2S△BGE=

19 3

2

，
答：S的值是

19 3

2

．

點評：本題主要考查對平行四邊形的性質，三角形的面積，等邊三角形的性質，勾股定理，矩形的性質，等腰梯形的性質等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．