Question

【題目】如圖，點E，F，G，H分別位于邊長為a的正方形ABCD的四條邊上，四邊形EFGH也是正方形，AG＝x，正方形EFGH的面積為y．

（1）當a＝2，y＝3時，求x的值；

（2）當x為何值時，y的值最小？最小值是多少？

Answer 1

【答案】（1）x＝；（2）當x＝a（即E在AB邊上的中點）時，正方形EFGH的面積最小，最小的面積為a2．

【解析】

（1）設正方形ABCD的邊長為a，AE＝x，則BE＝a﹣x，易證△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，再利用勾股定理求出EF的長，進而得到正方形EFGH的面積；

（2）利用二次函數的性質即可求出面積的最小值．

解：設正方形ABCD的邊長為a，AE＝x，則BE＝a﹣x，

∵四邊形EFGH是正方形，

∴EH＝EF，∠HEF＝90°，

∴∠AEH+∠BEF＝90°，

∵∠AEH+∠AHE＝90°，

∴∠AHE＝∠BEF，

在△AHE和△BEF中，，

∴△AHE≌△BEF（AAS），

同理可證△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，

∴AE＝BF＝CG＝DH＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝a﹣x

∴EF2＝BE2+BF2＝（a﹣x）2+x2＝2x2﹣2ax+a2，

∴正方形EFGH的面積y＝EF2＝2x2﹣2ax+a2，

當a＝2，y＝3時，2x2﹣4x+4＝3，

解得：x＝；

（2）∵y＝2x2﹣2ax+a2＝2（x﹣a）2+a2，

即：當x＝a（即E在AB邊上的中點）時，正方形EFGH的面積最小，最小的面積為a2．