Question

【題目】小明研究二次函數（為常數）性質時有如下結論：①該二次函數圖象的頂點始終在平行于x軸的直線上；②該二次函數圖象的頂點與x軸的兩個交點構成等腰直角三角形；③當時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍為；④點與點在函數圖象上，若，，則.其中正確結論的個數為（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據函數解析式，結合函數圖象的頂點坐標、對稱軸以及增減性依次對4個結論作出判斷即可．

解： 二次函數=-（x-m）2+1（m為常數）
①∵頂點坐標為（m，1）且當x=m時，y=1
∴這個函數圖象的頂點始終在直線y=1上
故結論①正確；
②令y=0，得-（x-m）2+1=0

解得：x=m-1，x=m+1

∴拋物線與x軸的兩個交點坐標為A（m-1，0），B（m+1，0）

則AB=2

∵頂點P坐標為（m，1）
∴PA=PB=，
∴

∴是等腰直角三角形

∴函數圖象的頂點與x軸的兩個交點構成等腰直角三角形
故結論②正確；

③當-1＜x＜2時，y隨x的增大而增大，且-1＜0
∴m的取值范圍為m≥2．

故結論③正確；
④∵x1+x2＞2m
∴＞m
∵二次函數y=-（x-m）2+1（m為常數）的對稱軸為直線x=m
∴點A離對稱軸的距離小于點B離對稱軸的距離
∵x1＜x2，且-1＜0
∴y1＞y2

故結論④正確．
故選：D．