Question

如圖1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=4

3

，∠ABO=30°．動點P在線段AB上從點A向終點B以每秒

3

個單位的速度運動，設運動時間為t秒．在直線OB 上取兩點M、N作等邊△PMN．
（1）求當等邊△PMN的頂點M運動到與點O重合時t的值．
（2）求等邊△PMN的邊長（用t的代數式表示）；
（3）如果取OB的中點D，以OD為邊在Rt△AOB 內部作如圖2所示的矩形ODCE，點C在線段AB上．設等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S，請求出當0≤t≤2秒時S與t的函數關系式，并求出S的最大值．
（4）在（3）中，設PN與EC的交點為R，是否存在點R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形中30°所對的邊是斜邊的一半即可求出AP，進而求出t的值；
（2）利用△BPH∽△BAO，得出PH的長，再利用解直角三角形求出PN的長；
（3）根據當0≤t≤1時以及當t=1時和當t=2時，分別求出S的值；
（4）根據當D為頂點，OD=OR₁=6時，當R₂為頂點，OR₂=DR₂時，③當O為等腰△的頂點時，分別得出即可．

解答：解：（1）∵△PMN是等邊三角形，
∴∠P₁M₁N₁=60°；
∵在Rt△AOB中，
∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴∠AP₁0=90°，
在Rt△AP₁O中，AP₁=

1

2

AO=2

3

，
∴t=

2 3

3

，即t=2；

（2）∵△BPH∽△BAO，
∴

PH

4 3

=

8 3 - 3 t

8 3

，
∴PH=

8 3 - 3 t

2

，
∵cos30°=

PH

PN

，
∴PN=

PH

cos30°

=

8 3 - 3 t 2

3 2

=8-t，

（3）當0≤t≤1時，S₁=S_{四邊形EONG}，
作GH⊥OB于H，如圖3，
∵∠GNH=60°，GH=2

3

，
∴HN=2，∵PN=NB=8-t，
∴ON=OB-NB，
∴ON=12-（8-t）=4+t，
∴OH=4+t-2=2+t，
S₁=

1

2

（2+t+4+t）×2

3

=2

3

t+6

3

，
∵2

3

＞0，
∴S隨t增大而增大，
當t=1時，S_最大=8

3

，
當1＜t＜2時，如圖4，S₂=S_{五邊形IFONG}，
作GH⊥OB于H，
∵AP₂=

3

t
∴AF=2

3

t，
∴OF=4

3

-2

3

t，
∴EF=2

3

-（4

3

-2

3

t）
=2

3

t-2

3

，
∴EI=2t-2，
∴S₂=S_梯形EONG-S_△EFI
=2

3

t+6

3

-

1

2

（2t-2）×（2

3

t-2

3

）
=-2

3

t²+6

3

t+4

3

，
∵-2

3

＜0，
∴當t=-

b

2a

=

3

2

時
S_2最大=

17 3

2

，
當t=2時，如圖5，
MP=MN=6，
N與D重合，
S₃=S_梯形IMNG，
=

3

4

×36-

3

4

×4，
=8

3

，
∴S=

2 3 t+6 3   (0≤t≤1) -2 3 t2+6 3 t+4 3 (1＜t＜2) 8 3         (t=2)

，
S_最大=

17 3

2

，

（4）∵△ODR是等腰三角形，
①當D為頂點，OD=OR₁=6時，
DR₁=6-2

2

＞2（不合題意舍去），
當D為頂點時，R₁不存在，
此時R₁不存在，使△ODR是等腰三角形，
②當R₂為頂點，OR₂=DR₂時，
R₂在EC的中點處，
∵AO=4

3

，∠B=30°，
∴BO=12，
∵D為OB中點，
∴DO=EC=6，
∴ER₂=3，
∵OB=12，∠B=30°，
∴OP₂=6，
∴R₂P₂=3，
∴ER₂=P₂R₂=3，
∴CP₂=3

3

，
∴AP₂=4

3

-3

3

=

3

，
t₂=

3

3

=1，
③當O為等腰三角形頂角的頂點時，
CR₃=6-2

6

，
CP₃=

6-2 6

2

×

3

×2=6

3

-6

2

，
AP₃=4

3

-（6

3

-6

2

），
=6

2

-2

3

，
∴t₃=

6 2 -2 3

3

=2

6

-2＞2（不合題意舍去）．
綜上所述：t=1時，△ODR是等腰三角形．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的性質等知識，（3）（4）小題中，都用到了分類討論的數學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．