Question

【題目】某河道上有一個半圓形的拱橋，河兩岸筑有攔水堤壩．其半圓形橋洞的橫截面如圖所示．已知上、下橋的坡面線、與半圓相切，上、下橋斜面的坡度，橋下水深米．水面寬度米．設半圓的圓心為，直徑在坡角頂點、的連線上．求從點上坡、過橋、下坡到點的最短路徑長．（參考數據：，，）

Answer 1

【答案】從點上坡、過橋、下坡到點的最短路徑長為米．

【解析】

首先明確從M點上坡、過橋、下坡到N點的最短路徑長應為如圖ME++FN，連接如圖，把實際問題轉化為直角三角形問題，由已知求出OD即半徑，再由坡度i=1：3.7和tan15°==1：3.7，得出∠M=∠N=15°，因此能求出ME和FN，所以求出∠EOM=∠FON=90°-15°=75°，則得出所對的圓心角∠EOF，相繼求出的長，從而求出從M點上坡、過橋、下坡到N點的最短路徑長．

連接FO、EO、DO，
已知CD=24m，0P=5m，∴PD=12m，
∴OD2=OP2+PD2=52+122=169，
∴OD=13m，則OE=OF=13m，
已知坡度i=1：3.7和tan15°==1：3.7，
∴∠M=∠N=15°，
∴cot15°==2+，
∵上、下橋的坡面線ME、NF與半圓相切，
∴tan∠M=OE：EM，
∴ME=FN==13×（2+），=26+13（m），
∠EOM=∠FON=90°-15°=75°，
∴∠EOF=180°-75°-75°=30°，
∴＝＝π（m）

∴ME++FN=26+13+π+26+13≈102.7（m）

答：從點上坡、過橋、下坡到點的最短路徑長為米．