Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分線分別交BC，CD于E、F．

（1）試說明△CEF是等腰三角形．

（2）若點E恰好在線段AB的垂直平分線上，試說明線段AC與線段AB之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）首先根據條件∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，可證出∠B+∠BAC＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，再根據同角的補角相等可得到∠ACD＝∠B，再利用三角形的外角與內角的關系可得到∠CFE＝∠CEF，最后利用等角對等邊即可得出答案；

（2）線段垂直平分線的性質得到AE＝BE，根據等腰三角形的性質得到∠EAB＝∠B，由于AE是∠BAC的平分線，得到∠CAE＝∠EAB，根據直角三角形的性質即可得到結論．

解：（1）∵∠ACB＝90°，

∴∠B+∠BAC＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠CAD+∠ACD＝90°，

∴∠ACD＝∠B，

∵AE是∠BAC的平分線，

∴∠CAE＝∠EAB，

∵∠EAB+∠B＝∠CEA，∠CAE+∠ACD＝∠CFE，

∴∠CFE＝∠CEF，

∴CF＝CE，

∴△CEF是等腰三角形；

（2）∵點E恰好在線段AB的垂直平分線上，

∴AE＝BE，

∴∠EAB＝∠B，

∵AE是∠BAC的平分線，

∴∠CAE＝∠EAB，

∴∠CAB＝2∠B，

∵∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠B＝90°，

∴∠B＝30°，

∴AC＝AB．