Question

【題目】如圖，已知直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A、B兩點，拋物線y=+bx+c經過A、B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點，該拋物線的對稱軸與x軸交于點E．

（1）直接寫出拋物線的解析式為 ；

（2）以點E為圓心的⊙E與直線AB相切，求⊙E的半徑；

（3）連接BC，點P是第三象限內拋物線上的動點，連接PE交線段BC于點D，當△CED為直角三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)y=+2x﹣3；(2)；(3)（﹣1，﹣4）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）先利用一次函數解析式求出A點和B點坐標，再把A點和B點坐標代入y=+bx+c得關于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；

（2）作EH⊥AB于H，如圖1，先利用勾股定理計算出AB，再利用切線的性質得EH為⊙E的半徑，然后證明Rt△EAH∽Rt△BAO，則可利用相似比計算出EH；

（3）先通過確定C點坐標可得到OC=OB=3，則可判斷△OBC為等腰直角三角形，所以∠OCB=45°，分類討論：當∠CDE=90°，則△CDE為等腰直角三角形，作DF⊥CE于F，如圖2，根據等腰直角三角形的性質得DF=EF=CF=CE=1，則可確定D（﹣2，﹣1），再利用待定系數法求出直線OD的解析式為y=x+1，然后通過解方程組可得到此時P點坐標；當∠CED=90°時，EP∥y軸，此時P點為拋物線的頂點．

試題解析：（1）當y=0時，3x﹣3=0，解得x=1，則A（1，0），

當x=0時，y=3x﹣3=﹣3，則B（0，﹣3），

把A（1，0），B（0，﹣3）代入y=+bx+c得，解得，

所以拋物線解析式為y=+2x﹣3；

故答案為：y=+2x﹣3；

（2）作EH⊥AB于H，如圖1，

∵y=+2x﹣3=﹣4，

∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，則E（﹣1，0）

∵A（1，0），B（0，﹣3），

∴AB==，

∵以點E為圓心的⊙E與直線AB相切，

∴EH為⊙E的半徑，

∵∠EAH=∠BAO，

∴Rt△EAH∽Rt△BAO，

∴EH：OB=EA：AB，即EH：3=2：，解得EH=，

即⊙E的半徑為；

（3）當y=0時，+2x﹣3=0，解得=-3，=1，則C（﹣3，0），

∵OC=OB=3，

∴△OBC為等腰直角三角形，

∴∠OCB=45°，

當∠CDE=90°，則△CDE為等腰直角三角形，作DF⊥CE于F，如圖2，則DF=EF=CF=CE=1，

∴D（﹣2，﹣1），

設直線OD的解析式為y=mx+n，

把E（﹣1，0），D（﹣2，﹣1）代入得，解得，

∴直線OD的解析式為y=x+1，

解方程組得或，

∴P點坐標為（，）；

當∠CED=90°時，EP∥y軸，此時P點坐標為（﹣1，﹣4），

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（﹣1，﹣4）或（，）．