Question

【題目】如圖，O是正△ABC內一點，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，下列結論：①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到；②點O與O′的距離為4；③∠AOB=150°；④S四邊形AOBO′=6+4；⑤S△AOC+S△AOB=6+，其中正確的結論是（　　）

A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②④⑤ D. ①②③④⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】

證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，故結論①正確；

由△OBO′是等邊三角形，可知結論②正確；

在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數，故△AOO′是直角三角形；進而求得∠AOB=150°，故結論③正確；

S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，故結論④錯誤．

如圖，

由題意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，

∴∠1=∠3，

又∵OB=O′B，AB=BC，

∴△BO′A≌△BOC，

又∵∠OBO′=60°，

∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，

故結論①正確；

如圖，連接OO′，

∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，

∴△OBO′是等邊三角形，

∴OO′=OB=4．

故結論②正確；

∵△BO′A≌△BOC，

∴O′A=5．

在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數，

∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，

∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，

故結論③正確；

S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，

故結論④正確；

將△AOC繞A點順時針旋轉60°到△ABO'位置

同理可得S△AOC+S△AOB=6+

故⑤正確

故選D．