Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2﹣x﹣3與x軸的交點為A、D（A在D的右側），與y軸的交點為C．

（1）直接寫出A、D、C三點的坐標；

（2）若點M在拋物線上，使得△MAD的面積與△CAD的面積相等，求點M的坐標；

（3）若點P是拋物線對稱軸上一點，在拋物線上是否存在一點Q，使以A,D,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊行？若存在，求出Q點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A點坐標為（4，0），D點坐標為（2，0），C點坐標為（0，3）；（2）M點坐標為（2，3）或（1＋，3）或（1，3）；(3) Q（1，-）或Q (7, )或Q (-5, )

【解析】

（1）令y＝0，解方程x2﹣x﹣3＝0可得到A點和D點坐標；令x＝0，求出y＝3，可確定C點坐標；

（2）根據拋物線的對稱性，可知在在x軸下方對稱軸右側也存在這樣的一個點；再根據三角形的等面積法，在x軸上方，存在兩個點，這兩個點分別到x軸的距離等于點C到x軸的距離；

（2）分AD是平行四邊形的邊和對角線分別作圖，根據圖形的特點即可求解．

（1）∵y＝x2﹣x﹣3，

∴當y＝0時，

x2﹣x﹣3＝0，

解得x1＝2，x2＝4．

當x＝0，y＝3．

∴A點坐標為（4，0），D點坐標為（2，0），C點坐標為（0，3）；

（2）∵y＝x2﹣x﹣3

∴對稱軸為直線x＝．

∵AD在x軸上，點M在拋物線上，

∴當△MAD的面積與△CAD的面積相等時，分兩種情況：

①點M在x軸下方時，根據拋物線的對稱性，可知點M與點C關于直線x＝1對稱，

∵C點坐標為（0，3），

∴M點坐標為（2，3）；

②點M在x軸上方時，根據三角形的等面積法，可知M點到x軸的距離等于點C到x軸的距離3．

當y＝3時，x2﹣x﹣3＝3，

解得x1＝1＋，x2＝1，

∴M點坐標為（1＋，3）或（1，3）．

綜上所述，所求M點坐標為（2，3）或（1＋，3）或（1，3）；

(3)如圖，當AD是平行四邊形的一邊時，

設Q(x, x2﹣x﹣3)，則P（1，x2﹣x﹣3）

由AD==4-(-2)=6，得

解得x=7或x=-5

故Q (7, )，P（1，）或Q (-5, )，P（1，）

如圖，當AD是平行四邊形的對角線時，設PQ,AD交于H點，

則P,Q在對稱軸x=1上，

∵x=1時，y=x2﹣x﹣3=-

∴HQ=PH=

故Q（1，-），P（1，）

綜上，存在Q（1，-）或Q (7, )或Q (-5, )，使得以點A、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形．