Question

【題目】如圖，兩個以點O為圓心的同心圓，

（1）如圖1，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點，試判斷AC與BD的數量關系，并說明理由.

（2）如圖2，將大圓的弦AB向下平移使其為小圓的切線，切點為C，證明：AC=BC.

（3）在（2）的基礎上，已知AB=20cm，直接寫出圓環的面積.

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）AC=BD；（2）見解析；（3）100πcm2

【解析】試題分析：作OH⊥AB于H，根據垂徑定理得到AH=BH，CH=DH，然后利用等量減等量差相等可得到結論．

(2) 根據切線的性質以及垂徑定理即可證明；

(3）根據圓環的面積等于兩圓的面積差，再根據切線的性質定理、勾股定理、垂徑定理求解．

試題解析：（1）AC=BD，理由是：

過O作OH⊥AB，由垂徑定理得AH=BH，CH=DH，

AH-CH=BH-DH，

即AC=BD

（2）連接OC，如圖，

AB是小圓的切線，

OC⊥AB，則AC=BC

（3）如圖，連接OB．

∵大圓的弦AB是小圓的切線，
∴OC⊥AB，AC=CB，
∴OB2-OC2=（20÷2）2=102，
∵S圓環=S大-S小=πOB2-πOC2=π（OB2-OC2），
∴S圓環=100πcm2