Question

【題目】如圖1，在中，為銳角．點為射線上一動點，連接，以為一邊且在的右側作正方形．

解答下列問題：

如果，．

①當點在線段上時（與點不重合），如圖2，線段、之間的位置關系為________，數量關系為________．

②當點在線段的延長線上時，如圖3，①中的結論是否仍然成立，為什么？

如果，，點在線段上運動．試探究：當滿足一個什么條件時，（點、重合除外）？畫出相應圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）

Answer 1

【答案】（1）垂直，相等； 當時，，理由見解析.

【解析】

（1）①根據正方形的性質得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質即可得到結論；②由正方形ADEF的性質可推出△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根據余角的性質即可得到結論；

（2）過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G，于是得到∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，證得AC=AG，根據（1）的結論于是得到結果．

（1）①正方形ADEF中，AD=AF．

∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF．在△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．

故答案為：垂直、相等；

②成立，理由如下：

∵∠FAD=∠BAC=90°

∴∠BAD=∠CAF

在△BAD與△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，∴∠BCF=90°，∴CF⊥BD；

（2）當∠ACB=45°時，CF⊥BD（如圖）．

理由：過點A作AG⊥AC交CB的延長線于點G，則∠GAC=90°．

∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，∴∠AGC=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG．在△GAD與△CAF中，，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AGC=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．