Question

【題目】如圖①，定義：直線 (m<0, n>0) 與x、y軸分別相交于A、B兩點，將△AOB繞著點O逆時針旋轉90°得到△COD，過點A、B、D的拋物線P叫做直線l的“糾纏拋物線”，反之，直線l叫做P的“糾纏直線”，兩線“互為糾纏線”。

（1） 若，則糾纏拋物線P的函數解析式是 ．

（2） 判斷并說明與是否“互為糾纏線”.

（3） 如圖②，若糾纏直線，糾纏拋物線P的對稱軸與CD相交于點E，點F在l上，點Q在P的對稱軸上，當以點C、E、Q、F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時，求點Q的坐標.

（4） 如圖③，在(3)的條件下，G為線段AB上的一個動點，G點隨著△AOB旋轉到線段CD上的H點，連接H、G，取HG的中點M，當點G從A開始運動到B點，直接寫出點M的運動路徑長。

Answer 1

【答案】解：（1）；（2）詳見解析；（3）Q點坐標為或；（4）M的運動路徑長為

【解析】

（1）根據題意及直線l解析式可得A，B，D坐標，用待定系數法可求拋物線P的函數解析式；

（2）分別在x=0時和y=0時，求兩函數與坐標軸交點，然后根據“互為糾纏線”的定義進行判斷；

（3）以點C，E，Q，F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時，則有FQ∥CE，且FQ＝CE．以此為基礎，列方程求出點Q的坐標；

（4）如圖，過點H，G分別作HJ⊥x軸，GK⊥x軸，由旋轉的性質可證明△HJO≌△OKG，則可以設點G（m,-2m+4）(0≤m≤2)， H(2m-4,m)，得到M點坐標為()，從而確定出點M在直線（-2≤x≤1）上運動，然后根據兩點間距離公式易得結果.

解：（1）若，則A（1,0），B（0,2），D（-2,0），

設拋物線解析式為：y=a(x-1)(x+2)，

將B（0,2）代入可得：a=-1，

∴拋物線解析式為：y=-(x-1)(x+2)=；

（2）當x=0時，，，

∴兩函數圖像交于y軸（0,2k）,

當y=0時，①，解得：x=k，

②，解得：，，

∴兩函數圖像交于x軸(k,0)，且OB=OD，

∴與“互為糾纏線”；

（3）若，則A（2,0），B（0,4），C（0,2），D（-4,0），

求得直線CD的解析式為：y＝，

可求得P的對稱軸為．

∵以點C，E，Q，F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形，

∴FQ∥CE，且FQ＝CE．

設直線FQ的解析式為：y＝，

∵點E、點C的橫坐標相差1，

∴點F、點Q的橫坐標也是相差1．

則|xF（1）|＝|xF＋1|＝1，

解得xF＝0或xF＝2．

∵點F在直線l：y＝2x＋4上，

∴點F坐標為（0，4）或（2，8）．

若F（0，4），則直線FQ為：y＝+4，

當x＝1時，y＝，

∴Q1（1，）；

若F（2，8），則直線FQ為：y＝x＋9，

當x＝1時，y＝，

∴Q2（1，）．

∴滿足條件的點Q有2個，點Q坐標為Q1（1，）， Q2（1，）．

（4）如圖，過點H，G分別作HJ⊥x軸，GK⊥x軸，

∵OH=OG，∠HOG=90°，

∴∠HOJ+∠GOK=90°,

∵∠HOJ+∠JHO=90°,

∴∠GOK=∠JHO，

又∵∠HJO=∠OKG=90°,

∴△HJO≌△OKG，

設點G（m,-2m+4）(0≤m≤2)，則H(2m-4,m)

∴M()，

令，

∴,

∴，

∵0≤m≤2，

∴-2≤x≤1，

∴點M在直線（-2≤x≤1）上運動，

當x=1時，y=,

當x=-2時，y=，

∴M的運動路徑長=