Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2﹣4x+3與x軸交于A，B兩點，其頂點為C．

（1）對于任意實數m，點M（m，﹣2）是否在該拋物線上？請說明理由；

（2）求證：△ABC是等腰直角三角形；

（3）若點D在x軸上，則在拋物線上是否存在點P，使得PD∥BC，且PD=BC？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）不在；（2）答案見解析；（3）（，1）或（，1）．

【解析】試題分析：（1）假如點M（m，﹣2）在該拋物線上，則﹣2=m2﹣4m+3，通過變形為：m2﹣4m+5=0，由根的判別式就可以得出結論；

（2）如圖，根據拋物線的解析式求出點C的坐標，再利用勾股定理求出AB、AC和BC的值，由勾股定理的逆定理就可以得出結論．

（3）假設存在點P，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，因此連接點P與點C的線段應被x軸平分，就可以求得P點的縱坐標為1，代入拋物線的解析式就可以求出P點的橫坐標．

試題解析：解：（1）假如點M（m，﹣2）在該拋物線上，∴﹣2=m2﹣4m+3，∴m2﹣4m+5=0，∴△=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，∴此方程無實數解，∴點M（m，﹣2）不會在該拋物線上；

（2）過點C作CH⊥x軸，交x軸與點H，連接CA、CB．如圖，當y=0時，x2﹣4x+3=0，x1=1，x2=3．∵點A在點B左側，∴A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3，∴AB=2．

∵y=x2﹣4x+3，∴y=（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1），∴AH=BH=CH=1．

在Rt△AHC和Rt△BHC中，由勾股定理得，AC=，BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是等腰直角三角形；

（3）存在這樣的點P．

∵PD∥BC，PD=BC，∴四邊形PBCD是平行四邊形，∴根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，因此連接點P與點C的線段應被x軸平分，∴點P的縱坐標是1．∵點P在拋物線y=x2﹣4x+3上，∴x2﹣4x+3=1，解得x1=2﹣，x2=2+，∴點P的坐標是（2﹣，1）或（2+，1）．