Question

【題目】《莊子·天下》：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”意思是說：一尺長的木棍，每天截掉一半，永遠也截不完.我國智慧的古代人在兩千多年前就有了數學極限思想，今天我們運用此數學思想研究下列問題.

（規律探索）

(1)如圖1所示的是邊長為1的正方形，將它剪掉一半，則S陰影1＝1－＝__________；

如圖2，在圖1的基礎上，將陰影部分再裁剪掉—半，則S陰影2＝1－－()2＝_______；

同種操作，如圖3，S陰影3＝1－－()2－()3＝__________；

如圖4，S陰影4＝1－－()2－()3－()4＝___________；

……

若同種地操作n次，則S陰影n＝1－－()2－()3－…－()n＝_________.

（規律歸納）

(2)直接寫出＋＋＋…＋的化簡結果：_________.

（規律應用）

(3)直接寫出算式＋＋＋…＋的值：__________.

Answer 1

【答案】（1）；；；；()n；（2）；（3）.

【解析】

(1)結合圖形計算即可求出，按照規律推出S陰影n的表達式即可；

（2）由上面的規律可得1----…-=，然后轉換得到＋＋＋…＋再化簡即可；

（3）把（2）的化簡結果計算即可得出.

(1)根據圖像和計算直接可得S陰影1＝1－=；

S陰影2＝1－－()2＝；

S陰影3＝1－－()2－()3＝；

S陰影4＝1－－()2－()3－()4＝；

由此可以發現規律1－－()2－()3－…一直減下去，答案就等于減去的最后一個數的值；

故S陰影n＝1－－()2－()3－…－()n＝()n.

(2)由上面的規律可得1----…-=，

即＋＋＋…＋=1-=.

(3) ＋＋＋…＋=1-=.