Question

【題目】如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，連接AE、BD．

（1）猜想PM與PN的數量關系及位置關系，請直接寫出結論；

（2）現將圖①中的△CDE繞著點C順時針旋轉α（0°＜α＜90°），得到圖②，AE與MP、BD分別交于點G、H．請判斷（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（3）若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖③，寫出PM與PN的數量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由見解析；（2）理由見解析；（3）PM=kPN；理由見解析

【解析】試題分析：（1）由等腰直角三角形的性質易證△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根據三角形中位線定理即可得到PM=PN，由平行線的性質可得PM⊥PN；（2）（1）中的結論仍舊成立，由（1）中的證明思路即可證明；（3）PM=kPN，由已知條件可證明△BCD∽△ACE，所以可得BD=kAE，因為點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，所以PM=BD，PN=AE，進而可證明PM=kPN．

試題解析：（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：

∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．

在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，

∵點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點， ∴PM=BD，PN=AE，

∴PM=PM， ∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°， ∴∠MPA+∠NPC=90°，

∴∠MPN=90°， 即PM⊥PN；

（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．

∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∴△ACE≌△BCD． ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．

又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD， ∴∠BHO=∠ACO=90°．

∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點， ∴PM=BD，PM∥BD； PN=AE，PN∥AE．

∴PM=PN． ∴∠MGE+∠BHA=180°． ∴∠MGE=90°． ∴∠MPN=90°． ∴PM⊥PN．

（3）PM=kPN

∵△ACB和△ECD是直角三角形， ∴∠ACB=∠ECD=90°． ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．

∴∠ACE=∠BCD． ∵BC=kAC，CD=kCE， ∴=k． ∴△BCD∽△ACE． ∴BD=kAE．

∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點， ∴PM=BD，PN=AE． ∴PM=kPN．