Question

【題目】如圖，已知AB∥CD，CN是∠BCE的平分線．

(1)若CM平分∠BCD，求∠MCN的度數；

(2)若CM在∠BCD的內部，且CM⊥CN于C，求證：CM平分∠BCD；

(3)在(2)的條件下，連結BM，BN，且BM⊥BN，∠MBN繞著B點旋轉，∠BMC＋∠BNC是否發生變化？若不變，求其值；若變化，求其變化范圍．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）見解析；（3）∠BMC＋∠BNC＝180°不變，理由見解析

【解析】

（1）利用角平分線的定義和補角的定義可得結果；

（2）由垂直的定義可得∠MCN=90°，即∠BCN+∠BCM=90°，利用等式的性質可得2∠BCN+2∠BCM=180°，又因為∠BCE=2∠BCN，可得∠BCD=2∠BCM，即得結論；

（3）延長AB至F，過N，M分別作NG∥AB，MH∥AB，則有NG∥AB∥MH∥CD，利用平行線的性質易得∠BNG=∠ABN，∠CNG=∠ECN，∠BMH=∠FBM，∠CMH=∠DCM，由∠MBN=∠MCN=90°，可得∠ABN+∠FBM+∠ECN+∠DCM=180°，由角平分線的定義可得結論．

(1)∵CN，CM分別平分∠BCE和∠BCD，

∴BCN＝∠BCE，∠BCM＝∠BCD，

∵∠BCE＋∠BCD＝180°，

∴∠MCN＝∠BCN＋∠BCM＝∠BCE＋∠BCD＝(∠BCE＋∠BCD)＝90°；

(2)∵CM⊥CN，∴∠MCN＝90°，即∠BCN＋∠BCM＝90°，

∴2∠BCN＋2∠BCM＝180°，

∵CN是∠BCE的平分線，∴∠BCE＝2∠BCN，

∴∠BCE＋2∠BCM＝180°，

又∵∠BCE＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝2∠BCM，

又∵CM在∠BCD的內部，∴CM平分∠BCD；

(3)如圖，∠BMC＋∠BNC＝180°，延長AB至F，過N，M分別作NG∥AB，MH∥AB，則有NG∥AB∥MH∥CD，

∴∠BNG＝∠ABN，∠CNG＝∠ECN，∠BMH＝∠FBM，∠CMH＝∠DCM，

∵BM⊥BN，CM⊥CN，∴∠MBN＝∠MCN＝90°，

∵∠ABN＋∠MBN＋FBM＝180°，∠ECN＋∠MCN＋∠DCM＝180°，

∴∠ABN＋∠FBM＋∠ECN＋∠DCM＝180°，

∴∠BMC＋∠BNC＝∠BMH＋∠CMH＋∠BNG＋∠CNG＝∠ABN＋∠FBM＋∠ECN＋∠DCM＝180°，

∴∠BMC＋∠BNC＝180°不變.