Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO是菱形，且∠AOC＝60°，點B的坐標是（0，8），點P從點C開始以每秒個單位長度的速度沿線段CB向點B移動，同時，點Q從點O開始以每秒3個單位長度的速度沿射線OA方向移動，點P運動到點B時，兩點停止運動．直線PQ交OB于點D，運動時間為t秒．

（1）直接寫出點A的坐標；

（2）求t為何值時，直線PQ與菱形ABCO的邊互相垂直；

（3）如果將題中的條件變為點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒a（1≤a≤3）單位，設運動時間為t（0<t≤8），其它條件不變．當a為何值時，以O，Q，D為頂點的三角形與△OAB相似？請給出你的結論，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）A（4，4）．（2）t=2，t=8；（3）3.

【解析】

試題分析：（1）連接AC交OB于點M，根據菱形的性質，在RT△AMO中，求出AM、OM即可．

（2）分兩種情形①如圖1中，當PQ⊥OA時，過C作CH⊥OA于H，②如圖2中，當PQ⊥AB時，過P作PN∥AB交射線OA于N，分別利用直角三角形30度性質列出方程即可解決．

（3）當a=1，a=3時，以O，Q，D為頂點的三角形與△OAB相似，①當a=1，△ODQ∽△OBA，②a=3時，△ODQ∽△OAB分別根據相似三角形性質列出方程即可解決．

試題解析：（1）連接AC交OB于點M，

∵∠AOC=60°，四邊形ABCO是菱形，

∴AC垂直平分OB，OM=OB=4，∠AOM=30°，

∴AM=4，

∴點D坐標為A（4，4）．

（2）①如圖1中，當PQ⊥OA時，過C作CH⊥OA于H，

∵PQ∥CH，PC∥QH，

∴四邊形PCHQ是平行四邊形，

∵∠CHQ=90°，

∴四邊形PCHQ是矩形，

∴PC=QH=t，OQ=3t，∠OCH=30°，OH=2t=OC=4，

∴t=2．

②如圖2中，當PQ⊥AB時，過P作PN∥AB交射線OA于N，

由菱形ABCO得，PN=AB=8，

∴OQ=3t，CP=t，∠PQN=30°，NQ=2t=16，

∴t=8，

即當t=2，t=8時，直線PQ與菱形ABCO的邊互相垂直．

（3）當a=1，a=3時，以O，Q，D為頂點的三角形與△OAB相似，

①當a=1，△ODQ∽△OBA，

證明：由△ODQ∽△OBA，可得∠ODQ=∠OBA，此時PQ∥AB，

∴四邊形PCOQ為平行四邊形，

∴CP=OQ，即at=t，（0＜t≤8）

∴a=1時，△ODQ∽△OBA，

②a=3時，△ODQ∽△OAB

當P與B重合時，D點也與B重合，此時t=8，

由△ODQ∽△OAB，得

，

∵OD=OB，

∴OB2=OAOQ，

即（8）2=8×8a，

∴a=3，

∴a=3，△ODQ∽△OAB．