Question

【題目】如圖,點D為⊙O上的一點,點C在直徑BA的延長線上,并且∠CDA=∠CBD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）過點B作O的切線,交CD的延長線于點E,若BC=12,tan∠CDA=，求BE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2) BE的長為5.

【解析】試題分析： （1）如圖，連接OD．欲證明CD是⊙O的切線，只需證明CD⊥OA即可.（2）通過相似三角形△EBC∽△ODC的對應邊成比例列出關于BE的方程，通過解方程來求線段BE的長度即可.

試題解析：

（1）證明：連OD，OE，如圖，∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，

又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠1，∴∠1=∠CDA，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵EB為⊙O的切線，∴ED=EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，

∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=，∴tan∠OEB==，

∵Rt△CDO∽Rt△CBE，（1）證明：連OD，OE，如圖，

∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠1，∴∠1=∠CDA，

∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切線；∴，∴CD=×12=8，

在Rt△CBE中，設BE=x，∴（x+8）2=x2+122，解得x=5．即BE的長為5．