Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，sin∠BAC＝．點D在邊AB上（不與點A、B重合），以AD為半徑的⊙A與射線AC相交于點E，射線DE與射線BC相交于點F，射線AF與⊙A交于點G．

（1）如圖，設AD＝x，用x的代數式表示DE的長；

（2）如果點E是的中點，求∠DFA的余切值；

（3）如果△AFD為直角三角形，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）∠DFA的余切值為；（3）DE的長為或．

【解析】

（1）過點D作DH⊥AC，垂足為H．根據銳角三角函數和勾股定理即可用x的代數式表示DE的長；

（2）根據題意可設BC＝4k（k＞0），AB＝5k，則AC＝＝3k．過點A作AM⊥DE，垂足為M，再根據銳角三角函數和勾股定理即可表示∠DFA的余切值；

（3）分兩種情況討論：當點E在AC上時，只有可能∠FAD＝90°；當點E在AC的延長線上時，只有可能∠AFD＝90°，此時∠AFC＝∠AEF．根據銳角三角函數和勾股定理即可求DE的長．

解：（1）如圖，

過點D作DH⊥AC，垂足為H．

在Rt△AEH中，，

．

在⊙A中，AE＝AD＝x，

∴ ，

∴；

（2）∵，

∴可設BC＝4k（k＞0），AB＝5k，

則AC＝＝3k．

∵AC＝15，

∴3k＝15，

∴k＝5．

∴BC＝20，AB＝25．

∵點E是的中點，由題意可知此時點E在邊AC上，點F在BC的延長線上，

∴∠FAC＝∠BAC．

∵∠FCA＝∠BCA＝90°，AC＝AC，

∴△FCA≌△BCA（ASA），

∴FC＝BC＝20．

∵，

又∵∠AED＝∠FEC，且∠AED、∠FEC都為銳角，

∴tan∠FEC＝2．

∴．

∴AE＝AC﹣EC＝15﹣10＝5．

過點A作AM⊥DE，垂足為M，

則．

∵，

∴ ．

在Rt△EFC中，．

∴在Rt△AFM中，．

答：∠DFA的余切值為；

（3）當點E在AC上時，只有可能∠FAD＝90°．

∵FC＝CEtan∠FEC＝2（15﹣x），

∴．

∴．

∵，

又∵∠AED＝∠ADE，且∠AED、∠ADE都為銳角，

∴．

∴．

∴AD＝x＝．

∴．

當點E在AC的延長線上時，只有可能∠AFD＝90°，

∠AFC＝∠AEF．

∵∠AFC、∠AEF都為銳角，

∴tan∠AEF＝tan∠AFC＝2．

∵CE＝AE﹣AC＝x﹣15，

∴CF＝CEtan∠AEF＝2（x﹣15）．

∴．

∴AD＝x＝．

∴．

綜上所述，△AFD為直角三角形時，DE的長為或．