Question

【題目】如圖，一次函數的圖象分別與軸，軸交于，以線段為邊在第一象限內作等腰直角三角形，使．

（1）分別求點的坐標；

（2）在軸上求一點，使它到兩點的距離之和最小．

Answer 1

【答案】(1) B的坐標是(0,2)，C的坐標是(5,3);(2) P(2,0)．

【解析】

（1）先根據一次函數的解析式求出A、B兩點的坐標，再作CD⊥x軸于點D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性質可知OA=CD，故可得出C點坐標；

（2）求得B點關于x軸的對稱點B'的坐標，連接B'C與x軸的交點即為所求的P點，由B'、C坐標可求得直線B'C的解析式，則可求得P點坐標．

解：∵一次函數中，令x=0得：y=2；
令y=0，解得x=3.
∴B的坐標是(0,2)，A的坐標是(3,0).
作CD⊥x軸于點D．

∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO，
又∵AB=AC，∠BOA=∠CDA=90°，
∴△ABO≌△CAD(AAS)，
∴AD=OB=2，CD=OA=3，OD=OA+AD=5．
則C的坐標是(5,3).

(2)如圖，作點B關于x軸的對稱點B'，連接CB'交x軸于P，此時PB+PC的值最小．

∵B(0,2)，C(5,3)
∴B'(0,-2)，
設直線C B'的解析式為y=kx+b,

把(0,-2) (5,3)代入y=kx+b中，
可得：，
解得：，
∴直線CB'的解析式為y=x-2，
令y=0，得到x=2，
∴P(2,0)．