Question

（2007•瀘州）如圖，已知直線l：y=及拋物線C：y=ax²+bx+c（a≠0），且拋物線C圖象上部分點的對應值如下表：

x	…	-2	-1	0	1	2	3	4	…
y	…	-5	0	3	4	3	0	-5	…

（1）求拋物線C對應的函數解析式；
（2）求直線l與拋物線C的交點A、B的坐標；
（3）若動點M在直線l上方的拋物線C上移動，求△ABM的邊AB上的高h的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可任選三點坐標代入拋物線的解析式中進行求解即可．（可選其中與x軸的交點，用交點式二次函數通式設拋物線的解析式求解．）
（2）聯立直線l和拋物線的解析式即可求出A、B的坐標．
（3）本題可通過三角形ABM的面積來求解．由于三角形AMB的面積無法直接求出，因此可將其分割成其他圖形面積的和差來求解．過M作MN∥y軸交AB于N，那么三角形ABM的面積就分成了三角形AMN和BMN兩部分，可以MN為底，以AB兩點的橫坐標的差的絕對值為高來求三角形ABM的面積，MN是拋物線的函數中與直線AB函數值的差，由此可得出關于三角形AMB的面積與M點橫坐標的函數關系式．然后根據三角形ABM的面積的不同表示方法求出關于h和M點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出h的最大值．
解答：解：（1）∵拋物線C：y=ax²+bx+c（a≠0）過（-1，0），（0，3），（3，0）；
∴可設二次函數的解析式為y=a（x+1）（x-3），
則有：3=a（0+1）（0-3），a=-1；
∴拋物線C對應的函數關系式為：y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．

（2）由，
得：，
；
∴A（-，-）和B（2，3）．

（3）設點M（x，-x²+2x+3），其中-＜x＜3，過點M作y軸的平行線交直線AB于點N，則N（x，x）．
且|MN|=-x²+2x+3-x=-x²+x+3
∴S_△ABM=S_△AMN+S_△BMN=|MN|（x+）+|MN|（2-x）
=|MN|（+x+2-x）
=-x²+x+
由勾股定理得：
|AB|===．
又∵S_△ABM=|AB|•h，
∴וh=-x²+x+
∴h=（-x²+x+3），
故h=-（x-）²+
∴當x=（-＜＜3）時，h的最大值為．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點、圖形面積的求法等知識點．綜合性強，難度較高．