Question

已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過A（-3，0），B（1，0），C（0，-2），點D在y軸的負半軸上，且點D的坐標為（0，-9），
①求二次函數的解析式．
②點E在①中的拋物線上，四邊形ABCE是以AB為一底邊的梯形，求點E的坐標．
③在①、②成立的條件下，過點E作直線EF⊥OA，垂足為F，直線EF與線段AD相交于點G，在拋物線上是否存在點P，使直線PG與y軸相交所成的銳角等于梯形ABCE的底角？若存在請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：①已知函數的圖象經過A，B，C三點，把三點的坐標代入解析式就可以得到一個三元一次方程組，就可以求出函數的解析式；
②由題意和圖象可知CE∥AB，可求的E點的縱坐標為-2，把-1代入y=x²+x-2．可求的點E橫坐標．
③由條件可知P點必為直線AD與拋物線的交點，先求出直線AD的解析式，然后聯立拋物線的解析式可得出P點坐標．
解答：解：①y=ax²+bx+c的圖象經過A（-3，0），B（1，0），C（0，-2），三點，

解得：a=，b=，c=-2．
∴y=x²+x-2．

②由題意和圖象可知CE∥AB，
∴E點的縱坐標為-2，
∴-2=x²+x-2．
即x²+2x=0，
∴x₁=0（舍），x₂=-2，
∴E點的坐標為（-2，-2）；
       
③答：存在．
如圖所示：假定在拋物線上存在一點P，使直線PG與y軸相交所成的銳角等于梯形ABCE的底角，即點P是拋物線與直線AD的交點．
設直線AD的解析表達式為y=kx+b，并設直線AD與FG交于點Q，
把點A（-3，0），點Q（0，-9）代入y=kx+b中，
得，
 解得：．
∴直線AD的解析表達式為y=-3x-9．
設點P（x，y），則有y=-3x-9．③
把③代入②，得 x²+x=-x-2，
∴x²+（+1）x+2=0，
即x²+2（+1）x+4 =0．
∴（x+2）（x+2）=0．
解得x=-2 或x=-2．
當x=-2時，y=-x-2=2-2=0；
當x=-2時，y=-x-2=2-2．
∴在拋物線上存在點P₁（-2，-2），P₂（-2，2-2），使直線PG與y軸相交所成的銳角等于梯形ABCE的底角．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．綜合性強，能力要求極高．