Question

【題目】長為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．當n=3時，a的值為_________．

Answer 1

【答案】或．

【解析】根據操作步驟，可知每一次操作時所得正方形的邊長都等于原矩形的寬．所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬．當＜a＜1時，矩形的長為1，寬為a，所以第一次操作時所得正方形的邊長為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為1-a，a．由1-a＜a可知，第二次操作時所得正方形的邊長為1-a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為1-a，a-（1-a）=2a-1．由于（1-a）-（2a-1）=2-3a，所以（1-a）與（2a-1）的大小關系不能確定，需要分情況進行討論．又因為可以進行三次操作，故分兩種情況：①1-a＞2a-1；②1-a＜2a-1．對于每一種情況，分別求出操作后剩下的矩形的兩邊，根據剩下的矩形為正方形，列出方程，求出a的值．

解：由題意，可知當＜a＜1時，第一次操作后剩下的矩形的長為a，寬為1-a，所以第二次操作時正方形的邊長為1-a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1-a，2a-1．此時，分兩種情況：
①如果1-a＞2a-1，即a＜，那么第三次操作時正方形的邊長為2a-1．
∵經過第三次操作后所得的矩形是正方形，
∴矩形的寬等于1-a，
即2a-1=（1-a）-（2a-1），解得a=；
②如果1-a＜2a-1，即a＞，那么第三次操作時正方形的邊長為1-a．
則1-a=（2a-1）-（1-a），解得a=．
故答案為或．
“點睛”本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是分兩種情況：①1-a＞2a-1；②1-a＜2a-1．分別求出操作后剩下的矩形的兩邊．