Question

【題目】（13分）如圖所示，四邊形中， 于點, , ,點為線段上的一個動點。

（1）求證: 。

（2）過點分別作于點，作于點。

① 試說明為定值。

② 連結,試探索：在點運動過程中，是否存在點，使的值最小。若存在，請求出該最小值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）由AC⊥BD，AO＝CO，可知BD是AC的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質可知AD＝DC，AB＝BC，同理可得AD＝AB，CD＝BC，故AB＝BC＝CD＝AD；或先根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形先證四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形證明四邊形ABCD是菱形，進而得出結論；

（2）連接DP，根據題意可知： S△ADC＝S△ADP＋S△CDP，由三角形的面積公式可知： ACOD ＝ADPM＋DCPH，將AC、OD、AD、DC的長代入化簡即可；

（3））由PM＋PH為定值，當PB最短時，PM＋PH＋PB有最小值，由垂線的性質可知當點P與點O重合時，OB有最小值．

試題解析：

（1）證明：∵AO＝CO，BD⊥AC，

∴AD＝CD，AB＝BC ，

同理可得AD＝AB,CD＝BC，

∴AB＝BC＝CD＝AD；

另證：∵AO＝CO，BO＝DO，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD．

（2）證明：∵AC⊥BD，BO＝DO＝5，AO＝CO＝12，

∴由勾股定理得AD＝CD＝13，

連結DP則S△ADC＝S△ADP＋S△CDP ，

又∵PM⊥AD，PH⊥DC，DO⊥AC，

∴

∴

∴即為定值；

（3）存在點，使的值最小．

由（2）可知， 為定值

∴要使PM＋PH＋PB最小，則PB要取最小值

∵BO⊥AC，

∴當P與O重合時，PB最小，最小值為OB＝5，

∴PM＋PH＋PB的最小值為．