Question

【題目】如圖，已知直線與拋物線： 相交于和點兩點.

⑴求拋物線的函數表達式；

⑵若點是位于直線上方拋物線上的一動點，以為相鄰兩邊作平行四邊形,當平行四邊形的面積最大時，求此時四邊形的面積及點的坐標；

⑶在拋物線的對稱軸上是否存在定點,使拋物線上任意一點到點的距離等于到直線的距離，若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】⑴；⑵當 ，□MANB=△= ，此時；⑶存在. 當時，無論取任何實數，均有. 理由見解析.

【解析】

（1）利用待定系數法，將A，B的坐標代入y=ax2+2x+c即可求得二次函數的解析式；

（2）過點M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，求出直線AB的解析式，設點M（a，-a2+2a+3），則K（a，a+1），利用函數思想求出MK的最大值，再求出△AMB面積的最大值，可推出此時平行四邊形MANB的面積S及點M的坐標；

（3）如圖2，分別過點B，C作直線y=的垂線，垂足為N，H，設拋物線對稱軸上存在點F，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y=的距離，其中F（1，a），連接BF，CF，則可根據BF=BN，CF=CN兩組等量關系列出關于a的方程組，解方程組即可．

（1）由題意把點（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，

得，，

解得a=-1，c=3，

∴此拋物線C函數表達式為：y=-x2+2x+3；

（2）如圖1，過點M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，

將點（-1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，

得，，

解得，k=1，b=1，

∴yAB=x+1，

設點M（a，-a2+2a+3），則K（a，a+1），

則MK=-a2+2a+3-（a+1）

=-（a-）2+，

根據二次函數的性質可知，當a=時，MK有最大長度，

∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK

=MKAH+MK（xB-xH）

=MK（xB-xA）

=××3

=，

∴以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB，當平行四邊形MANB的面積最大時，

S最大=2S△AMB最大=2×=，M（，）；

（3）存在點F，

∵y=-x2+2x+3

=-（x-1）2+4，

∴對稱軸為直線x=1，

當y=0時，x1=-1，x2=3，

∴拋物線與點x軸正半軸交于點C（3，0），

如圖2，分別過點B，C作直線y=的垂線，垂足為N，H，

拋物線對稱軸上存在點F，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y=的距離，設F（1，a），連接BF，CF，

則BF=BN=-3=，CF=CH=，

由題意可列：，

解得，a=，

∴F（1，）．