Question

【題目】如圖（1），正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AC上一點，連結EB，過點A作AM⊥BE，垂足為M，AM與BD相交于點F．
（1）求證：OE=OF；
（2）如圖（2）若點E在AC的延長線上，AM⊥BE于點M，AM交DB的延長線于點F，其他條件不變，結論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形．

∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．

又∵AM⊥BE，

∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，

∴∠MEA=∠AFO．

在△BOE和△AOF中，

∵ ，

∴△BOE≌△AOF．

∴OE=OF．

（2）解：OE=OF成立．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．

又∵AM⊥BE，

∴∠F+∠MBF=90°，

∠E+∠OBE=90°，

又∵∠MBF=∠OBE，

∴∠F=∠E．

在△BOE和△AOF中，

∵ ，

∴△BOE≌△AOF．

∴OE=OF．

【解析】（1）根據正方形的性質對角線垂直且平分，得到OB=OA，又因為AM⊥BE，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，從而求證出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．（2）根據第一步得到的結果以及正方形的性質得到OB=OA，再根據已知條件求證出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．
【考點精析】利用正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．