Question

【題目】在菱形ABCD中，BD=BC，

（1）如圖，若菱形ABCD的面積為6．求點B到DC的最短距離.

（2）如圖2，點F在BC邊上，且DE＝CF，連接DF交BE于點M，連接EB并延長至點N，使得BN＝DM，求證：AN＝DM+BM．

Answer 1

【答案】（1）3（2）證明見解析

【解析】

（1）由四邊形ABCD為菱形及BD=CD，可知 是等邊三角形，由垂線段的性質知當BH時，點B到CD的距離最短.然后根據等邊三角形的性質及面積法即可求出點B到CD的最短距離為3 ；

（2）如圖2中，連接AM，在MA上截取MH=MD，連接DH．想辦法證明△AMN，△DMH都是等邊三角形，△ADH≌△BDM即可解決問題；

（1）解：∵四邊形ABCD為菱形，

∴BC=CD 又∵BD=CD，

∴ ，

當BH時，點B到CD的距離最短。

∵，且BH，

∴H為CD中點，設CD=2x.則BH=，

∴ ， 解得 ，

∴BH=3,即點B到CD的最短距離為3 ；

(2)連接AM，

∵DE＝CF．∠BDE＝∠C，BD＝CD，

∴△BDE≌△DCF，

∴∠DBE＝∠CDF，

∴∠BMF＝∠DBM+∠BDM＝∠CDF+∠BDM＝60°，

∴∠DMB＝120°，

∵∠DAB+∠DMB＝180°，

∴∠ADM+∠ABM＝180°，

又∵∠ABN+∠ABM＝180°，

∴∠ABN＝∠ADM，

∵AB＝AD，BN＝DM，

∴△ABN≌△ADM，

∴∠DAM＝∠BAN，AM＝AN，

∴∠MAN＝∠DAB＝60°，

∴△AMN是等邊三角形，

∴AN=NM，

又∵NM=NB+BM,NB=DM，

∴AN=DM+BM.