Question

【題目】已知關于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0

(1) 當k取何值方程有兩個實數根

(2) 是否存在k值使方程的兩根為一個矩形的兩鄰邊長，且矩形的對角線長為

Answer 1

【答案】(1)k≥; (2)2.

【解析】

（1）根據判別式是非負數，這樣就可以確定k的取值范圍；

（2）設方程的兩根為x1，x2，依題意x12＋x22＝5，又根據根與系數的關系可以得到x1＋x2＝k＋1，x1x2＝k2＋1，而x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2，這樣利用這些等式變形即可求解．

解：(1) ∵△＝[－(k＋1)]2－4×(k2＋1)＝2k－3≥0，

∴k≥；

(2) 設方程的兩根為x1、x2，

∴x12＋x22＝5，

∵x1＋x2＝k＋1，x1x2＝k2＋1，

∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(k＋1)2－2×(k2＋1)＝5，解得k1＝－6，k2＝2，

∵x1＋x2＝k＋1＞0，

∴k＞－1，

∴k＝2.