Question

【題目】我們把有一組對角為直角的四邊形叫直方形．設這兩個直角的夾邊長分別為a，b和c，d，記叫直方形的方周長，如圖1．

（1）判斷與的大小；

（2）如圖2，已知點P為雙曲線上一動點，過點P作PA⊥x軸交x軸正半軸于點A，以坐標原點O為圓心、OA長為半徑作，點B為上不同于點A的點，當以點P，A，O，B為頂點的直方形的方周長取最小值時，求直方形PAOB的面積；

（3）已知直線：與x軸、y軸相交于點A，B，點P為平面上一點，以點P，A，O，B為頂點的直方形的方周長，當反比例函數的圖象與直線有兩個交點時，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）連接，根據∠B=∠D=90°，利用勾股定理解決問題即可；

（2）由四邊形為直方形，可得為的切線，進而得到，得出，再利用二次函數的性質解決問題即可；

（3）由直線l：與x軸，y軸交于點A，B，推出A（1-a，0），B（0，a），可得L2=2[（1-a）2+a2]=50，解得a=-3或4．再分兩種情形分別求解即可；

（1）如圖，連接，

在與中，

∵∠B=∠D=90°，

∴AC2=AB2+BC2=AD2+CD2，

由勾股定理可知，．

（2）四邊形為直方形，且，

，則為的切線，

，點的橫坐標為且點在雙曲線上．

．

．

當時，取得最小值，此時

直方形為正方形，．

（3）直線與軸、軸相交于點，

，．

．

解得：，．

①當時，與有兩個交點．

（Ⅰ）當時有兩個交點：

（1）當時，與聯立得：，有兩個不同的解．

，

．

當時有兩個不同的解．

由上可知，當或時有兩個交點：

②當時，與有兩個交點．

（Ⅰ）當時有兩個交點：

（Ⅱ）當時，與聯立得：，有兩個不同的解．

，

．

當時有兩個不同的解．

由上可知，當或時有兩個交點．

綜上所述，當反比例函數的圖象與直線有兩個交點時，的取值范圍是或．