Question

【題目】如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于點E，D是AB邊上一動點，連接CD交AE于點P，連接BP．已知AB =6cm，設B，D兩點間的距離為xcm，B，P兩點間的距離為y1cm，A，P兩點間的距離為y2cm．

小明根據學習函數的經驗，分別對函數y1，y2隨自變量x的變化而變化的規律進行了探究．

下面是小明的探究過程，請補充完整:

（1）按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了y1，與x的幾組對應值：

x/cm	0	1	2	3	4	5	6
y1/cm	2.49	2.64	2.88	3.25	3.80	4.65	6.00
y2/cm	4.59	4.24	3.80	3.25	2.51		0.00

（2）在同一平面直角坐標系xOy中，描出補全后的表中各組數值所對應的點(x，y1)，(x，)，并畫出函數y1，的圖象；

（3）結合函數圖象，回答下列問題：

①當AP=2BD時，AP的長度約為 cm；

②當BP平分∠ABC時，BD的長度約為 cm．

Answer 1

【答案】（1）1.5；（2）詳見解析；（3）答案不唯一，如：①3.86；②3

【解析】

（1）用光滑的曲線連接y2圖象現有的點，在圖象上，測量出x=5時，y的值即可；
（2）描點連線即可繪出函數圖象；
（3）①當AP=2BD時，即y2=2x，在圖象上畫出直線y=2x，該圖象與y2的交點即為所求；
②從表格數據看，當x=3時，y1=y2=3.25，故當BP平分∠ABC時，此時點P是△ABC的內心，故點D在AB的中點，即可求解．

解：（1）根據測量結果得到：

x/cm	0	1	2	3	4	5	6
y1/cm	2.49	2.64	2.88	3.25	3.80	4.65	6.00
y2/cm	4.59	4.24	3.80	3.25	2.51	1.5	0.00

（2）畫出函數的圖象；

（3）①當AP=2BD時，即y2=2x，
在圖象上畫出直線y=2x，該圖象與y2的交點即為所求，即圖中空心點所示，

空心點的縱坐標為3.86，
②從表格數據看，當x=3時，y1=y2=3.25，
即點D在AB中點時，y1=y2，即此時點P在AB的中垂線上，則點C在AB的中垂線上，則△ABC為等腰三角形，
故當BP平分∠ABC時，此時點P是△ABC的內心，故點D在AB的中點，

故答案可以為：①3.86；②3．