Question

【題目】如圖1，在菱形中，對角線與相交于點，，，在菱形的外部以為邊作等邊三角形．點是對角線上一動點（點不與點重合），將線段繞點順時針方向旋轉得到線段，連接．

（1）線段的長為__________；

（2）如圖2，當點在線段上，且點，，三點在同一條直線上時，求證：；

（3）連接．若的周長為，請直接寫出的面積．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）證明見解析；（3）25.

【解析】

（1）在RT△OAB中，利用勾股定理求解即可；

（2）由四邊形ABCD是菱形，求出△AFM為等邊三角形，∠M=∠AFM=60°，再求出∠MAC=90°，在Rt△ACM中利用tan∠M，求出AC；

（3）求出△AEM≌△ABF，利用△AFM的周長求出邊長，然后根據勾股定理得出OF，即可得出BF，進而得出△ABF的面積，即可得出的面積.

（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OB=OD=BD，

∵BD=24，

∴OB=12，

在Rt△OAB中，

∵AB=13，

∴OA=；

（2）如圖2，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD垂直平分AC，

∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，

由已知AF=AM，∠MAF=60°，

∴△AFM為等邊三角形，

∴∠M=∠AFM=60°，

∵點M，F，C三點在同一條直線上，

∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°，

∴∠FAC=∠FCA=30°，

∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°，

在Rt△ACM中
∵tan∠M=，

∴tan60°=，

∴；

（3）如圖，連接EM，

∵△ABE是等邊三角形，

∴AE=AB，∠EAB=60°，

由（2）知△AFM為等邊三角形，

∴AM=AF，∠MAF=60°，

∴∠EAM=∠BAF，

在△AEM和△ABF中，

，

∴△AEM≌△ABF（SAS），

∵的周長為，

∴AM=AF=MF==

∴

∴BF=BO-FO=12-2=10

∴

即的面積為25.