Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直徑，⊙O與BC交于點D，⊙O與AC交于點E，DF⊥AC于F，連接DE．

（1）求證：D為BC中點；

（2）求證：DF與⊙O相切；

（3）若⊙O的半徑為5，tan∠C＝，則DE＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）相切（3）6

【解析】

（1）連接AD，根據圓周角定理得到∠ADB＝90°，根據等腰三角形的性質即可得到結論；

（2）連接OD，根據平行線的性質得到∠DFC＝∠ODF，根據切線的判定定理即可得到結論；

（3）根據平行線的性質和圓內接四邊形的性質得到∠B＝∠EDO，根據余角的性質得到∠EDF＝∠CDF，得到DE＝CD，解直角三角形即可得到結論．

（1）證明：連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴D為BC中點；

（2）連接OD，

∵AO＝BO，BD＝CD，

∴OD∥AC，

∴∠DFC＝∠ODF，

∵DF⊥AC，

∴∠ODF＝90°，

∴OD⊥DF，

∴DF與⊙O相切；

（3）∵OD⊥DF，DF⊥AC，

∴AC∥OD，

∴∠AED+∠ODE＝180°，

∵∠AED+∠B＝180°，

∴∠B＝∠EDO，

∵∠EDF+∠EDO＝∠CDF+∠ODB＝90°，

∴∠EDF＝∠CDF，

∴DE＝CD，

∵⊙O的半徑為5，tan∠C＝，

∴AB＝10，BD＝6，

∴DE＝CD＝BD＝6．

故答案為：6．