Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C在半圓上，點D在圓外，DE⊥AB于點E交AC于點F，且DF＝CD

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若點F是AC的中點，DF＝2EF＝2，求⊙O半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）4．

【解析】

（1）連接OC，易證∠BAC+∠AFE＝90°，由等腰三角形的性質得出∠DFC＝∠DCF，∠BAC＝∠OCA，由∠DFC＝∠AFE，推出∠DCF+∠OCA＝90°，即可得出結論；

（2）連接BC，作DH⊥AC于點H，由等腰三角形的性質得出FH＝CH＝CF，由已知得出AF＝CF＝AC，FH＝AC，EF＝，易證△AFE∽△DFH，得出＝，求出AC＝4，則AF＝AC＝2，由勾股定理得出AE＝＝3，由AB是⊙O的直徑，得出∠ACB＝∠AED＝90°，易證△BAC∽△FAE，得出＝，求出AB＝8，即可得出結果．

（1）證明：連接OC，如圖1所示：

∵DE⊥AB，

∴∠AED＝90°，

∴∠BAC+∠AFE＝90°，

∵DF＝CD，

∴∠DFC＝∠DCF，

∵OA＝OC，

∴∠BAC＝∠OCA，

∵∠DFC＝∠AFE，

∴∠DCF+∠OCA＝90°，

∴∠OCD＝90°，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：連接BC，作DH⊥AC于點H，如圖2所示：

∵DF＝CD，

∴FH＝CH＝CF，

∵點F是AC的中點，DF＝2EF＝2，

∴AF＝CF＝AC，FH＝AC，EF＝，

∵∠AED＝∠DHF＝90°，∠AFE＝∠DFH，

∴△AFE∽△DFH，

∴＝，

∴AFFH＝DFEF，

即：AC×AC＝2×，

解得：AC＝±4（負值不合題意舍去），

∴AF＝AC＝2，

∴AE＝＝＝3，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠AED＝90°，

∵∠BAC＝∠FAE，

∴△BAC∽△FAE，

∴＝，

即：＝，

解得：AB＝8，

∴⊙O半徑＝AB＝×8＝4．