Question

【題目】已知關于x的方程

（1）求證：無論m取任何實數時，方程恒有實數根；

（2）若關于x的二次函數的圖象與x軸兩交點間的距離為2，且拋物線的開口向上時，求此拋物線的解析式；

（3）在坐標系中畫出(2)中的函數圖象，分析當直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點時b的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）所求拋物線的解析式為：y1=x2－2x；（3）b>－.

【解析】試題分析：（1）本題中，二次項系數m的值不確定，分為m=0，m≠0兩種情況，分別證明方程有實數根．

（2）拋物線經過原點，c=0，列出方程即可解決．

（3）列出方程組，有兩個交點，△＞0，即可求出b的取值范圍．

試題解析：：（1）分兩種情況討論．

①當m=0時，方程為x-2=0，x=2．

∴m=0時，方程有實數根．

②當m≠0時，則一元二次方程的根的判別式

△=[-（3m-1）]2-4m（2m-2）

=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1

=（m+1）2≥0，

∴m≠0時，方程有實數根．

故無論m取任何實數時，方程恒有實數根．

綜合①②可知，m取任何實數，方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0恒有實數根；

（2）∵拋物線y=mx2-（3m-1）x+2m-2經過原點，

∴2m-2=0，

∴m=1，

∴拋物線解析式為y=x2-2x．

（3）函數圖象如圖所示，由消去y得到x2-3x-b=0，

∵兩個函數圖象有兩個交點，

∴△＞O，

∴9+4b＞0，

∴b＞-時直線y=x+b與（2）中的函數圖象只有兩個交點．