Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC= 90°，D是邊AC上的一點，AB= AD，連接BD， E是BC上的一點，以BE為直徑的⊙0經過點D.

(1)求證: AC是⊙O的切線:

(2)若∠A=60°，⊙O的半徑為2，求CE長

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2．

【解析】

（1）由OD=OB得∠1=∠ODB，則根據三角形外角性質得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，所以∠DOC=∠A，由于∠A+∠C=90°，所以∠DOC+∠C=90°，則可根據切線的判定定理得到AC是⊙O的切線；

（2）由∠A=60°得到∠C=30°，∠DOC=60°，根據含30度的直角三角形三邊的關系得CD=2OD=4，在Rt△ABC中，根據AB=BCtan30°計算即可.

（1）連接OD，

∵OD=OB，

∴∠1=∠ODB，

∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，

而∠A=2∠1，

∴∠DOC=∠A，

∵∠A+∠C=90°，

∴∠DOC+∠C=90°，

∴OD⊥DC，

∴AC是⊙O的切線；

（2）∵∠A=60°，

∴∠C=30°，∠DOC=60°，

在Rt△DOC中，OD=2，

∴OC=2OD=4，BC=OB+OC=6，

在Rt△ABC中，AB=BCtan30°=2．