Question

【題目】如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）求證：AC2=ADAB；

（3）若AD=，sinB=，求線段BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）BC=

【解析】

（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，證出AD∥OC，由平行線的性質證出∠DAC=∠OCA，即可得出結論；

（2）由圓周角定理證出∠ACB=90°=∠ADC，證明△ADC∽△ACB，得出對應邊成比例，即可得出結論；

（3）由相似三角形的性質得出∠ACD=∠B，得出sin∠ACD=，求出AC=，AB=，在Rt△ABC中，由勾股定理即可求出BC的長．

（1）證明：連接OC，如圖所示：

∵CD切⊙O于C，

∴CO⊥CD，

又∵AD⊥CD，

∴AD∥CO．

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

∴AC平分∠BAD．

（2）證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°=∠ADC，

∵∠DAC=∠CAO，

∴△ADC∽△ACB，

∴AD：AC=AC：AB，

∴AC2=ADAB；

（3）解：由（2）得：△ADC∽△ACB，

∴∠ACD=∠B，

∴sin∠ACD=，

∵AD=，

∴AC=，

∵AC2=ADAB，

∴AB=，

在Rt△ABC中，BC=．