Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，點的坐標是．

（1）正方形的邊長為 ，點的坐標是 ；

（2）將正方形繞點順時針旋轉，點，，旋轉后的對應點為，，，求點的坐標及旋轉后的正方形與原正方形的重疊部分的面積；

（3）動點從點出發，沿折線方向以1個單位/秒的速度勻速運動，同時，另一動點從點出發，沿折線方向以2個單位/秒的速度勻速運動，運動時間為秒，當它們相遇時同時停止運動，當為等腰三角形時，求出的值（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（1）8，(,)；（2）；（3）t＝8或

【解析】

（1）由正方形性質可得AO＝AC＝OB＝BC，AB⊥OC，OE＝EC，AE＝BE，由勾股定理可求AO，AE的長，即可求解；
（2）由旋轉的性質可得OA＝OA＝4，∠OAB＝∠A＝90°，可求AC的長，由S重疊部分＝S△OBCS△APC可求重疊部分的面積；
（3）利用分類討論思想和等腰三角形的性質可求t的值．

解：（1）如圖，連接AB，交OC于點E，

∵四邊形AOBC是正方形
∴AO＝AC＝OB＝BC，AB⊥OC，OE＝EC，AE＝BE，
∵點C的坐標是
∴OC＝
∴OE＝EC＝
∵OA2＋AC2＝OC2＝128，
∴OA＝8
∴

∴正方形邊長為8，點A坐標為(,)；

故答案為：8，(,)

（2）如圖，

∵將正方形繞點順時針旋轉45°，∠AOC＝45°
∴點A落在OC上，
∴OA＝OA＝8，∠OAB＝∠A＝90°
∴點A（8，0），AC＝OCOA＝-8

∵∠ACB＝45°，
∴∠APC＝∠ACP＝45°
∴AC＝AP＝-8

∴S重疊部分＝S△OBCS△APC＝-=

（3）∵t＝8時，點P與A重合，點Q與C重合，且△OAC是等腰三角形
∴當t＝8時，△OPQ為等腰三角形
當點P在OA上，點Q在OB上時，OP＝t，OQ＝2t，則直角三角形OPQ不是等腰三角形；
當點P在OA上，點Q在BC上時，
∵△OPQ是等腰三角形
∴點Q在OP的垂直平分線上，

∴

∴
當點P在AC上時，點Q在AC上時，OP≠OQ≠PQ
∴△OPQ不是等腰三角形．
∴當t＝8或時，△OPQ為等腰三角形．