Question

【題目】如圖：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，

（1）證明：CF＝EB．

（2）證明：AB＝AF+2EB．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）根據角平分線的性質“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，可得點D到AB的距離＝點D到AC的距離即CD＝DE．再根據Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB；

（2）利用角平分線性質證明Rt△ADC≌Rt△ADE，AC＝AE，再將線段AB進行轉化．

證明：（1）∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE＝DC，

在Rt△CDF和Rt△EDB中，，

∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．

∴CF＝EB；

（2）∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DC＝DE．

在Rt△ADC與Rt△ADE中，

∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），

∴AC＝AE，

∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．