Question

【題目】在△ABC中，點E、F在邊BC上，點D在邊AC上，連接ED、DF，＝m，∠A＝∠EDF＝120°

（1）如圖1，點E、B重合，m＝1時

①若BD平分∠ABC，求證：CD2＝CFCB；

②若，則＝　 　；

（2）如圖2，點E、B不重合．若BE＝CF，＝m，，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②或；（2）m＝．

【解析】

（1）①由三角形的外角性質和角平分線性質可得∠ABD＝∠CDF＝∠DBF，可證△CDF∽△CBD，可得，即可得結論；

②如圖1，作輔助線，構建一線三等角，證明△ABD∽△HDF，得，即，設AD＝x，則DH＝11a﹣x，列方程解出可得x＝5a或6a，代入可得結論；

（2）如圖2，作輔助線，構建平行線和相似三角形，先證明△ABC∽△DFE，得∠DEC＝∠C，所以DE＝DC，設未知數，表示EH和CH的長，根據平行線分線段成比例定理由：m＝代入可得結論．

（1）①∵，

∴AB＝AC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBF，

∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDF+∠CDF，且∠A＝∠BDF＝120°，

∴∠ABD＝∠CDF＝∠DBF，且∠C＝∠C，

∴△CDF∽△CBD，

∴，

∴CD2＝BCCF；

②如圖1，過A作AG⊥BC于G，過F作FH⊥BC，交AC于H，

∵∠C＝30°，

∴CH＝2FH，

設FH＝2a，CH＝4a，則CF＝2a，

∵，

∴BC＝15a，

∵CG＝a，

∴AG＝a，AC＝15a，

∴AH＝11a，

∵∠BAD＝∠BDF＝∠DHF＝120°，

∴∠ADB+∠FDH＝∠ADB+∠ABD＝180°﹣120°＝60°，

∴∠ABD＝∠FDH，

∴△BD∽△HDF，

∴，即，

設AD＝x，則DH＝11a﹣x，

∴30a2＝x（11a﹣x），

x2﹣11ax+30a2＝0，

（x﹣5a）（x﹣6a）＝0，

x＝5a或6a，

∴或，

故答案為：或；

（2）如圖2，過E作EH∥AB，交AC于H，過D作DM⊥EH于M，過F作FG∥ED，交AC于G，

∵BE＝CF，，

∴，

∵FG∥ED，

∴，

∴設CG＝3a，DG＝7a，

∵m，∠A＝∠EDF＝120°，

∴△ABC∽△DFE，

∴∠DEC＝∠C，

∴DE＝DC＝10a，

∵FG∥DE，

∴∠GFC＝∠DEF＝∠C，

∴FG＝CG＝3a，

同理由（1）得：△EHD∽△DFG，

∴，即，

DH＝，

Rt△DHM中，∠DHM＝60°，

∴∠HDM＝30°，

∴HM＝DH＝，DM＝a，

∴EM＝，

∴EH＝﹣＝，

∴m＝．