Question

【題目】如圖，已知直線y＝﹣2x+4分別交x軸、y軸于點A、B．拋物線過A、B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D．

（1）如圖1，設拋物線頂點為M，且M的坐標是（，），對稱軸交AB于點N．

①求拋物線的解析式；

②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；

（2）是否存在這樣的點D，使得四邊形BOAD的面積最大？若存在，求出此時點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在點P，使四邊形MNPD為菱形；；（2）存在，點D的坐標是（1，4）．

【解析】

（1）①由一次函數圖象上點的坐標特征求得點B的坐標，設拋物線解析式為y＝a，把點B的坐標代入求得a的值即可；

②不存在點P，使四邊形MNPD為菱形．設點P的坐標是（m，﹣2m+4），則D（m，﹣2m2+2m+4），根據題意知PD∥MN，所以當PD＝MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，根據該等量關系列出方程﹣2m2+4m＝，通過解方程求得m的值，易得點N、P的坐標，然后推知PN＝MN是否成立即可；

（2）設點D的坐標是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根據S四邊形BOAD＝S△BOA+S△ABD＝4+S△ABD，則當S△ABD取最大值時，S四邊形BOAD最大．根據三角形的面積公式得到函數S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函數的性質求得最值．

解：①如圖1，

∵頂點M的坐標是，

∴設拋物線解析式為y＝（a≠0）．

∵直線y＝﹣2x+4交y軸于點B，

∴點B的坐標是（0，4）．

又∵點B在該拋物線上，

∴＝4，

解得a＝﹣2．

故該拋物線的解析式為：y＝＝﹣2x2+2x+4；

②不存在．理由如下：

∵拋物線y＝的對稱軸是直線x＝，且該直線與直線AB交于點N，

∴點N的坐標是．

∴．

設點P的坐標是（m，﹣2m+4），則D（m，﹣2m2+2m+4），

∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．

∵PD∥MN．

當PD＝MN時，四邊形MNPD是平行四邊形，即﹣2m2+4m＝．

解得 m1＝（舍去），m2＝．

此時P（，1）．

∵PN＝，

∴PN≠MN，

∴平行四邊形MNPD不是菱形．

∴不存在點P，使四邊形MNPD為菱形；

（2）存在，理由如下：

設點D的坐標是（n，﹣2n2+2n+4），

∵點P在線段AB上且直線PD⊥x軸，

∴P（n，﹣2n+4）．

由圖可知S四邊形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝OBOA＝×4×2＝4．

則當S△ABD取最大值時，S四邊形BOAD最大．

S△ABD＝（yD﹣yP）（xA﹣xB）

＝yD﹣yP

＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）

＝﹣2n2+4n

＝﹣2（n﹣1）2+2．

當n＝1時，S△ABD取得最大值2，S四邊形BOAD有最大值．

此時點D的坐標是（1，4）．