Question

【題目】如圖，在⊙O的內接四邊形ACDB中，AB為直徑，AC：BC=1：2，點D為弧AB的中點，BE⊥CD垂足為E．
（1）求∠BCE的度數；
（2）求證：D為CE的中點；
（3）連接OE交BC于點F，若AB= ，求OE的長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AD，

∵D為弧AB的中點，

∴AD=BD，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB=∠DBA=45°，

∴∠DCB=∠DAB=45°

（2）解：證明：∵BE⊥CD，又∵∠ECB=45°，

∴∠CBE=45°，

∴CE=BE，

∵四邊形ACDB是圓O的內接四邊形，

∴∠A+∠BDC=180°，

又∵∠BDE+∠BDC=180°，

∴∠A=∠BD，

又∵∠ACB=∠BED=90°，

∴△ABC∽△DBE，

∴DE：AC=BE：BC，

∴DE：BE=AC：BC=1：2，

又∵CE=BE，

∴DE：CE=1：2，

∴D為CE的中點

（3）解：∵CO=BO，CE=BE，

∴OE垂直平分BC，

∴F為BC中點，

又∵O為AB中點，

∴OF為△ABC的中位線，

∴OF= AC，

∵∠BEC=90°，EF為中線，

∴EF= BC，

在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，

∵AC：BC=1：2，AB= ，

∴AC= ，BC=2 ，

∴OE=OF+EF=1.5 ．

【解析】（1）連接AD，由D為弧AB的中點，得到AD=BD，根據圓周角定理即可得到結論；（2）由已知條件得到∠CBE=45°，根據圓內接四邊形的性質得到∠A=∠BD，根據相似三角形的性質得到DE：AC=BE：BC，即可得到結論．（3）連接CO，根據線段垂直平分線的判定定理得到OE垂直平分BC，由三角形的中位線到現在得到OF= AC，根據直角三角形的性質得到EF= BC，由勾股定理即可得到結論．