Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，點M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tan∠MCN=

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：連接AC，通過三角形全等，求得∠BAC=30°，從而求得BC的長，然后根據勾股定理求得CM的長，連接MN，過M點作ME⊥CN于E，則△MNA是等邊三角形求得MN=2，設NE=x，表示出CE，根據勾股定理即可求得ME，然后求得tan∠MCN．

試題解析：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，

∴AM=AN=2，BM=DN=4，

連接MN，連接AC，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°

在Rt△ABC與Rt△ADC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）

∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，

∴BC=AC，

∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，

3BC2=AB2，

∴BC=2，

在Rt△BMC中，CM=

∵AN=AM，∠MAN=60°，

∴△MAN是等邊三角形，

∴MN=AM=AN=2，

過M點作ME⊥CN于E，設NE=x，則CE=2-x，

∴MN2-NE2=MC2-EC2，即4-x2=（2）2-（2-x）2，

解得：x=，

∴EC=2-=，

∴ME=，

∴tan∠MCN=.