Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E、F分別是BC、CD上的動點（不與點B，C，D重合），且∠EAF=45°，AE、AF與對角線BD分別相交于點G、H,連接EH、EF,則下列結論：① △ABH∽△GAH; ② △ABG∽△HEG; ③ AE= AH; ④ EH⊥AF; ⑤ EF=BE+DF
其中正確的有（ ）個。

A.2
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】D
【解析】①BD是正方形ABCD的對角線，所以∠ABD=45°，
∵∠EAF=45°，∴∠ABD=∠EAF=45°.
∵∠AHB=∠AHG，∴ ABH∽ GAH，即①正確。
②四邊形ABCD是正方形，BD為其對角線，所以∠DBC=45°.
∵∠EAF=45°，∴∠EAF=∠DBC.
∴ AGD∽ BGE， ，即
∵∠AGB=∠HE，∴△ABG∽△HEG.
故②正確.
③由②知△ABG∽△HEG，則∠ABG=∠AEH.
易知∠ABG=45°，所以∠AEH=45°.
∵∠EAH=45°，∴ AEH是等腰直角三角形.
∴ = ，AE= AH
即③正確.
④由③知 AEH是等腰直角三角形，所以EH⊥AF，即④正確。
⑤將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABM.

易知BM=DF，∠DAF=∠BAM，AF=AM
四邊形ABCD為正方形，∠EAF=45°，則∠BAE+∠DAF=45°
即∠BAM+∠BAE=∠MAE=45°.
∵AE=AE
∴ AFE≌ AME，ME=EF.
∵ME=MB+BE=DF+BE
∴EF=BE+DF。
所以五個命題都是正確，答案為D.
根據相似三角形的判定，證明三角形相似。對于最后一問，注意問題的轉化，通過作輔助線，證明ME=EF=EB+DF。