Question

【題目】如圖1，拋物線y=x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且OB=3OA．

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）動點D在線段BC下方的拋物線上．

①連接AC、BC，過點D作x軸的垂線，垂足為E，交BC于點F．過點F作FG⊥AC，垂足為G．設點D的橫坐標為t，線段FG的長為d，用含t的代數式表示d；

②過點D作DH⊥BC，垂足為H，連接CD．是否存在點D，使得△CDH中的一個角恰好等于∠ABC的2倍？如果存在，求出點D的橫坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）①d=t；②存在；D的橫坐標為或1

【解析】

（1）根據題意可求點A（-1，0），點B（m，0），根據OB=3OA，可求m的值，即可求解析式；

（2）①先求出直線BC解析式，即可得F點坐標，利用S△AFC=S△ABC-S△ABF．可得用含t的代數式表示d；

②分∠CDH=2∠ABC或∠DCH=2∠ABC兩種情況討論，利用銳角三角函數，相似三角形的性質可求點D的橫坐標．

（1）令y=0，則0=x2﹣（m﹣1）x﹣m，

∴x2﹣（m﹣1）x﹣m=0，

∴（x﹣m）（x+1）=0，

∴x1=m，x2=﹣1，

∵m＞0，點A在點B的左側，

∴點A（﹣1，0），點B（m，0），

∴OA=1，OB=m，

∵OB=3OA，

∴m=3，

∴拋物線y=x2﹣x﹣2，

（2）①如圖1：連接AF，

∵拋物線y=x2﹣x﹣2與y軸交與點C，

∴點C（0，﹣2），

∵點A（﹣1，0），點B（3，0），點C（0，﹣2），

∴AB=4，OC=2，AC=

∵設直線BC解析式y=kx+b.

∴

解得：b=﹣2，b=

∴直線BC解析式y=x﹣2，

∵D點橫坐標為t，DF⊥AB，

∴點F的橫坐標為t，

∴F（t，t﹣2），

∵S△AFC=S△ABC﹣S△ABF．

∴

∴

∴d=

②若∠DCH=2∠ABC，如圖2：過點C作CF∥AB，交拋物線于F點，作DE⊥CF于點E．

∵AB∥CF，

∴∠ABC=∠BCF，

又∵∠DCH=2∠BCF，

∴∠DCF=∠ABC=∠BCF，

∵點D坐標為（t，t2﹣t﹣2），

∴CE=t，DE=﹣2﹣（t2﹣t﹣2）=t﹣t2．

∵tan∠DCF=tan∠ABC=

∴

∴t1=0（不合題意舍去），t2=1，

即點D的橫坐標為1．

若∠CDH=2∠ABC，如圖3：作∠ECB=∠ABC，過點B作BP∥HD，交CD的延長線于點P，作PF⊥AB于F．

∵∠ECB=∠ABC，

∴EC=BE，∠AEC=2∠ABC，

在Rt△OEC中，CE2=OE2+OC2．

∴CE2=（3﹣CE）2+4，

∴CE=

∴OE=OB﹣BE=

∴tan∠AEC=tan2∠ABC=

∵點B（3，0），點C（0，﹣2），

∴BC=

∵BP∥HD，HD⊥BC，

∴BP⊥BC，∠CDH=∠CPB=2∠ABC，

∴tan∠CPB=tan2∠ABC=

∴BP=

∵∠ABC+∠PBF=90°，∠ABC+∠OCB=90°，

∴∠OCB=∠PBF，且∠BOC=∠PFB=90°，

∴△BOC∽△PFB，

∴

∴PF=，BF=

∴OF=3+=

∴點P坐標（，﹣），

∵點C（0，﹣2），點P（，﹣），

∴直線PC解析式y=x﹣2，

∵直線CP與拋物線交于C，D兩點，

∴

解得：x1=0，x2=

∴點D的橫坐標為

綜上所述：點D的橫坐標為或1，